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第五章 为了梦想孤注一掷真的就行不通吗 最大最大准则（第1页）

第五章为了梦想孤注一掷真的就行不通吗？——最大最大准则

设想最为顺利的局面

在第一章介绍的决策方式中，最难说明的就是最大最大准则。在这种决策准则指导下，人们会“想象最理想的情况，并据此选择决策方式”。可以说，这是一种看起来近乎盲目乐观、缺乏思考的行动准则。

这一准则与赌徒的心理有许多相似之处。正如第二章中阐述的那样，如果根据期望值准则进行判断，无论哪种形式的赌博，都是“稳赔不赚”的选择。尽管如此，还是有许多人沉迷于赌博不能自拔。这究竟是为什么呢？

有一个用来描述热衷于博彩的人的心理——侥幸心理。侥幸心理主要用来表达人们冒险时希望获得意外收益的心情。高额的获奖奖励会激发人们的侥幸心理，刺激人们参与博彩。

当人们开始从数学范畴研究概率之后，关于大家参与博彩这种难以获利的亏本行为的原因，一直都是备受关注的焦点。在本章中，我将就这些问题进行说明，从而揭开“博彩”这一行为的真实面纱。

圣彼得堡悖论

第二章中有一个例子，说明了花300日元购买年终彩票的中奖期望值只有约150日元。如果用一句话简单地概括，这种博彩行为就接近于“花300日元买了150日元”。这样看来，购买年终彩票绝对是一种愚蠢的行为。当然，事情绝不是看起来那么简单。之所以这么说，是因为中奖奖金并不一定都是150日元，还有4亿日元、3000万日元等各种不同等级。为了明确这种“浮动的未来收益”的衡量标准，人们提出了期望值这个概念。

但是，在所有的博彩项目中，奖金的期望值都要小于彩票售卖总额。这是彩票的发行方抽走了佣金的缘故。因此，如果将期望值作为标准，就意味着必须将博彩解释为为了获取负收益而采取的行为。自从17世纪布莱士·帕斯卡[1]和皮埃尔·德·费马[2]开始研究数学概率以来，数学家经常会挑战一个问题，那就是：为什么人们会背离期望值准则呢？

在使用期望值评价博彩行为而产生的矛盾中，存在着完全相反的模式。其中，最为著名的就是圣彼得堡悖论（PetersburgParadox），它是由18世纪法国著名数学家丹尼尔·伯努利（DanielBernoulli）提出的。

下面，我们来思考一个掷硬币的游戏。如果游戏者第一次投掷成功，掷出正面，就可以获得2日元的奖金，游戏就此结束。如果掷出反面，可以再掷一次。当再次掷出的结果为正面时，可以获得4日元的奖金并结束游戏。如果掷出的还是反面，则允许再掷一次。如果再次掷出的结果为正面，则可以获得8日元的奖金并结束游戏。就这样不断循环下去，直至掷出正面为止，每多掷一次，奖金就翻一倍。

在这种情况下，当每次掷硬币的收费为多少时，你会选择投注呢？

如果是10日元，你会投注吗？如果是100日元，情况又会怎样呢？如果是1万日元，你还会投注吗？请大家先认真思考，想好自己的决定，然后认真阅读下文的说明。

为了回答这一问题，你的头脑中肯定会闪过这个念头：“在投硬币时，最多会连续出现多少次反面呢？”

比如，对于那些认为“连续出现5次反面已经够多了”的人而言，如果第6次掷到正面，累计的奖金就达到了64日元。因此，他们做出的判断很可能是：如果投注费只有10日元或20日元，完全可以参加；如果投注费达到了50日元以上，就不适合再参加了。

对于那些坚持认为“即使连续出现10次反面也没有什么值得惊讶”的人而言，他们预期能够获得1024日元以上的奖金，因此完全可以接受数百日元的投注费。

下面，我将运用期望值标准，向大家介绍一个令人惊掉下巴的答案，那就是“即使投注费达到1000万日元，甚至是1亿日元，你也应该去赌一下”。

请大家先浏览一下表5-1，以检验期望值的计算结果。

表5-1　掷硬币奖金的期望值

由于整个博彩游戏的奖金期望值等于每一个结果的概率与每一个结果的奖金之积相加，为了直观体现结果，我对其进行了列表对比。结果一目了然，无论掷多少次，期望值都是1日元。这是因为随着投掷次数的增多，以后的结果虽然概率很小，但是其对应的奖值越来越大。因此，所有投掷次数的期望值之和，也就是整个博彩游戏的奖金期望值，就会趋近于无穷大。也就是说，这种赌博的奖金期望值是无穷大的。这就推导出一个结论，就算投注费达到1亿日元，甚至1万亿日元，你都应该去赌一下。

伯努利认为这种结论是一种悖论。这是因为在现实生活中，无论什么人都不会去付出高到离谱的投注费。

也就是说，期望值的不合理之处体现在两个方面：一方面“即使大家都知道博彩经营者会抽取佣金，导致彩票奖金的期望值变为负值，还是有人会沉迷其中，不能自拔”；另一方面，圣彼得堡悖论从完全相反的角度出发，证明了人们并非按照期望值标准决策的。这是因为悖论揭示了一个事实：虽然从期望值角度来看以这样的方式博彩是一种绝对有利的选择，但实际上人们还是不想以过高的投注费去参与博彩的。

根据这一悖论，伯努利提出了一个疑问：期望值究竟是否适用于衡量博彩行为？

为什么人们会热衷于参加“稳赔不赚”的博彩呢？

人们为什么会违背期望值标准行动呢？

伯努利认为这是由于人们存在某种“感觉偏差”。

这可能是由于两种偏差导致的。一是对概率本身的感觉偏差。也就是说，人们可能没有接受用概率理解事情发生难易程度的理念。比如，从数值来看，与1512的概率相比，11024的概率只有一半。但是，在实际生活中，人们不知道如何从直观感觉上准确把握这个“一半”的概念。二是对奖金金额的感觉偏差。也就是说，可能人们并没有将奖金的数值理解为账面价值。当奖金金额从1024日元增加到2048日元时，人们并不仅仅认为只是数值增加了“一倍”，还存在其他感觉。

但是，实际上，这两种偏差是不可分割的。这是因为期望值=概率×奖金金额，这里面既涉及概率，也涉及奖金金额。因此，正如圣彼得堡悖论所表述的那样，当出现期望值被低估的情况时，不管是由于低估概率的偏差导致的，还是由于低估奖金金额的偏差导致的，结果都是相同的。

因此，伯努利认为，为了解决悖论问题，应该站在上文所述的第二个立场，也就是，“低估奖金金额”的感觉偏差上来思考问题。当然，从低估概率的立场出发，道理上也可以解释得通。但是，作为一名数学家，伯努利显然不愿意触碰“概率”这一数学范畴概念的感觉偏差。相比之下，他更愿意研究“金额”这一日常概念的感觉偏差。这样一来，他所面临的思想斗争带来的压力也就变得更小了。实际上，在20世纪末，数学界也对概率的感觉偏差开展了研究。

伯努利认为“人们并不是基于奖金金额，而是以奖金带来的‘愉悦感’为准则进行决策的”，并按照下述方式给出了自己的解释。

将人们赢得奖金金额的“位数”设定为中奖时的“愉悦感”，并将其作为判断期望值的标准。比如，当奖金金额为两位数时，无论是20日元，还是87日元，感受到的“愉悦感”都只有“2”（关于详细计算方法，针对奖金金额x，应取log10x作为评估“愉悦感”的标准。但是，为了便于说明，特做上述设置）。

在这种情况下，可以参照表5-2，计算“奖金带来的愉悦感”，而不是奖金金额的期望值。

表5-2　掷硬币奖金带来的愉悦感

在这种计算方式下，总的愉悦感不再趋近于无穷大了，而是有限的（约等于2）。这样一来，也可以找到更好地解释圣彼得堡悖论中提到的人们不想以过高的投注金额参与博彩的理由。

源于“意识偏差”的期望效用

如果对伯努利的理论进行概括，那就是人们产生了“感觉错觉”或“感觉惰性”，“即便到手的奖金金额翻番，体会到的愉悦感并未随之翻番”。因此，就必须将带有感觉偏差的期望值作为标准，而不是坚持将奖金金额的期望值作为标准。在经济学领域，人们基于感觉评价的“赢得奖金的愉悦感”被称为效用。在这一基础上，将“效用期望值”的计算结果称为“期望效用”。在圣彼得堡悖论中，奖金的期望值是趋近于无穷大的，但表现为奖金金额“位数”的“愉悦感”——“期望效用”是有限的。

使用期望效用还可以解释对博彩充满兴趣的赌徒的心态和行动。

比如，有一种掷硬币游戏的投注费是4日元，如果掷硬币出现正面，则参与者可以赢得6日元；如果结果是反面，则血本无归，拿不到任何奖励（0日元）。那么，按照期望值准则决策的人是永远不会参加这种游戏的。因为奖金的期望值为0.5×0+0.5×6=3日元，小于投注费4日元，属于典型的赔本买卖。