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第2部 完全自学从概率论到正态分布（第1页）

第2部完全自学！从“概率论”到“正态分布”

第1部仅停留在描述贝叶斯统计学本质的阶段。但由于没有使用概率符号，因而语言表述不够精确。而如果想要真正地深入掌握使用“贝塔分布”等概率分布的复杂推算，必须要通过算式来理解。在前面，我们已经通过“面积图”的方法积累了扎实的基础，所以，再复杂的概率符号，也能够轻松理解。即使从未听说过“正态分布”也不必担心，我会为大家进行清楚细致的讲解。那么，下面就让我们开始学习吧！

第14讲“概率”与“面积”的性质相同概率论的基础

14-1复杂的贝叶斯推理需要用到概率符号

之前的讲义中对于贝叶斯推理进行的讲解，刻意没有使用概率符号。这是因为，从第1讲到第13讲的内容，即使不使用概率符号，也可以针对贝叶斯推理展开讲解，且效果并不会逊色于使用概率符号的讲解方式。实际上确实如此，所有的问题都可以通过使用面积图来解决。而如果使用概率符号来讲解的话，我担心读者朋友们需要在理解贝叶斯推理过程的同时，还要思考概率符号的含义。这样会带来双重负担，导致本来能够理解的知识，也变得无法理解。因此我最终使用了面积图的方法，而这两种方法在本质上其实是相同的。

然而，当我们需要进行更加复杂的贝叶斯推理时，就不得不使用概率符号了，否则，将会遇到一些麻烦。尤其是在采用“连续型先验分布”（第16讲中将详细讲解）的情况下，如果不使用概率符号，是根本无法进行下去的。因此，从第14讲开始，直到第18讲，我将针对概率符号和连续型概率分布进行讲解；从第19讲到第21讲，则步入贝叶斯推理的精髓——贝塔分布和正态分布。

14-2通过函数的形式来记述概率

概率是指，用一个“大于0且小于1的数值”来对应“发生的事情”的数学概念。

“发生的事情”→“数值”（“数值”的取值范围：必须大于0且小于1）。

先确定“发生的事情”，然后决定与之对应的数值分配，这被称为“概率模型”。

例如，“晴天、阴天、雨天、雪天”为4件事情，分别为这4件事情分配一个0到1之间的数值，结果便会得到一个关于“明天的天气”的概率模型。但要注意的是：所分配的4个数值的相加之和必须为1（标准化条件）。以下为该概率模型的一个例子：

晴天→0.3、阴天→0.4、雨天→0.2、雪→0.1

在这里，我们将4个基础事件——晴天、阴天、雨天、雪天称为“基本事件”。所谓“基本事件”，也就是指为了记述需要计算的概率现象的、且不能再往下分解的最基本事件。

把几个基本事件组合起来，便成为一件“发生的事情”。例如“撑伞”这件事情，是在“雨天”和“雪天”这些基本事件发生的时候，才能得以实现。因此，可以使用以下集合来进行记述：

“撑伞”＝{雨天，雪天}

该集合{雨天、雪天}，又可以称为“事件”。而用集合的方式来记录基本事件，则表示为{晴天}、{阴天}、{雨天}、{雪天}，那么也可以这样理解：基本事件是现象的一种。

下面，在该概率模型中，使用符号p（A）表示事件A发生的概率。

p是probability（概率）的首字母。根据前文所述，p（A）的取值范围，一定在0到1之间。在刚才的例子中，基本事件可以表示为：

p（{晴天}）→0.3、p（{阴天}）→0.4、p（{雨天}）→0.2、p（{雪天}）→0.1

在这里，p（{晴天}）→0.3的含义是：明天的天气为“晴天”的概率是0.3。

而非基本事件的概率的定义则是：构成该事件的基本事件的概率之和。比如，方才的事件“撑伞”的概率为：

p（“撑伞”）＝p（{雨天，雪天}）＝p（{雨天}）＋p（{雪天}）＝0.2＋0.1＝0.3

这可以表述为：发生撑伞这一事件的概率为0.3。大家可以观察这个例子，注意一下：相比文字，使用概率符号进行记述要简单得多。总结一下上述的符号方法，用“事件”来表示“发生的事情”，可以得到如下图表：

概率p：“事件”→“数值”，“数值”＝p（事件）

我们再来思考另一个代表性概率模型的例子：“掷骰子出现的点数”的概率模型。该案例中的基本事件为：

{1点，2点，3点，4点，5点，6点}

为了方便起见，“点”字可以省略掉，只写出数字，为：

{1，2，3，4，5，6}

也就是说，可以将基本事件设为数字的集合。那么，事件也将变为数字的集合，例如：

“偶数”＝{2，4，6}