格格党

手机浏览器扫描二维码访问

第17讲 贝塔分布的性质由两个数字决定（第2页）

17-2中已经作了说明，α＝2、β＝1时的贝塔分布为一次函数，即：

y＝（常数）x（0≤x≤1）…（3）

如图表17-2所示，函数的图像是一条穿过原点并向右上方延伸的线段。在概率分布图中，由于概率通过面积体现，所有事件的概率p（0≤x≤1）与三角形OAB的面积相一致。那么，基于标准化条件来考虑，该面积必须为1。而三角形的面积＝（底边）×（高）÷2，那么，底边为1，则高为2。也就是说，x＝1时，y＝2。因此，在（3）式中（常数）＝2。

换言之，α＝2，β＝1的贝塔分布为：

y＝2x（0≤x≤1）…（6）

图表17-2α＝2，β＝1时贝塔分布的概率分布图

下面通过一个例子，来帮助大家理解贝塔分布中的概率变化情况。例如，求事件{0.5≤x＜0.7}的概率p（0.5≤x＜0.7）。观察图表17-3，在概率分布图中，事件的概率通过面积来表示的，而概率p（0.5≤x＜0.7）是则为图中涂有颜色部分的梯形的面积。梯形的上底长为x＝0.5时的y，则y＝2×0.5＝1。梯形的下底长为x＝0.7时的y，则y＝2×0.7＝1.4。之前已经讲过，这个并非概率，而是一个被称为概率密度的量。此外，梯形的高度为0.7-0.5＝0.2。因此可以求出梯形的面积为：（1＋1.4）×0.2÷2＝0.24。也就是说，我们可以求出事件{0.5≤x＜0.7}的概率为：

p（0.5≤x＜0.7）＝0.24

图表17-3贝塔分布y＝2x时的概率

17-5α＝1，β＝2的例子

如17-2中所述，α＝1、β＝2时的贝塔分布为以下一次函数：

y＝（常数）（1-x）（0≤x≤1）…（4）

如图表17-4所示，函数的图像是一条穿过A（0，2），并向右下方延伸的线段。在概率分布图中，由于概率通过面积来表示，故所有事件的概率p（0≤x≤1）是与三角形OAB的面积相一致的。基于标准化条件来考虑，该面积必须为1。由于底边为1，故高为2。也就是说，当x＝0时，y＝2。因此，在（4）式中（常数）＝2。换言之，α＝1，β＝2的贝塔分布为：

y＝2（1-x）（0≤x≤1）…（7）

图表17-4α＝1，β＝2的贝塔分布的概率分布图

17-6α＝2，β＝2的例子

17-2中已经讲过，当α＝2、β＝2时，贝塔分布为以下二次函数：

y＝（常数）×x（1-x）（0≤x≤1）…（5）

如图表17-5所示，图像为抛物线（二次函数图像）的一部分。在概率分布图中，由于概率通过面积来表示，故所有事件的概率p（0≤x≤1）与抛物线和x轴围成的图形面积是一致的。基于标准化条件来考虑，由于该面积必须为1，那么用积分方法来计算面积，决定了在（5）式中（常数）＝6。换言之，α＝2、β＝2的贝塔分布为

y＝6x（1-x）（0≤x≤1）…（8）

在该概率分布中，若要计算出事件{0.5≤x＜0.7}的概率p（0.5≤x＜0.7），只需计算出图中涂有颜色部分的面积即可。但由于它是一个曲线图形，因此必须使用积分运算，用数学公式来表达，即为：

对于初学者来说，贝叶斯推理有着相当的难度的原因：即使在入门部分，也需要用到微积分的思考方式。当然，在标准的统计学（内曼－皮尔逊统计学）中，微积分的运用也是不可缺少的。不过，一般情况我们需要的推理，不一定会用到微积分，而大部分教科书也是采用的这种写法。另一个原因，在本书的后文部分也会涉及：在贝叶斯推理中，即便是入门阶段也不可避免地需要用到微积分。为此，本书选取了一个折中的方案：对概率密度函数进行解说，但不会涉及更深入的微分概念；此外，会针对概率分布图中，概率即面积这一问题进行解说，但也会省略掉如何具体运用积分理论计算面积的过程。总之，会在最大程度上避免涉及太多的微积分概念。

图表17-5α＝2，β＝2的贝塔分布的概率分布图

17-7在贝塔分布中，若α、β增大，情况就会变得复杂

截至上一节，我们所讨论过的贝塔分布的例子中，α、β均不大于2，因而图形也相对简单。而如果α、β均大于2，那么就会形成我们不大熟悉的图形。下面，列举一个α、β的数值均比较大的例子，如α＝4、β＝3时的贝塔分布。

y＝60x3（1-x）2（0≤x≤1）…（9）

如图表17-6所示。

图表17-6α＝4、β＝3的贝塔分布的概率分布图

第17讲·小结

1．贝塔分布，是x的取幂和（1-x）的取幂相乘的形式。

2．在x的0次幂和（1-x）的0次幂的情况下，与均匀分布相一致。

3．在x的1次幂和（1-x）的0次幂、x的0次幂和（1-x）的1次幂的情况下，概率分布图为线段。

4．在x的1次幂和（1-x）的1次幂的情况下，概率分布图为抛物线。

5．常数是由标准化条件（面积之和为1）决定的。

练习题

答案参见此处

当α＝3、β＝2时，贝塔分布的概率密度表示如下：

y＝12x2（1-x）

此时，计算以下关于x的概率密度。

（3）x＝1的概率密度