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第0080章 欧拉乘积公式（第2页）

田立心将刚才列举出来的公式擦去，又在黑板上写了一个公式，正是费马定理。

“有人能认出这个方程吧？这是十七世纪的数学家费马写下的公式，当时还叫费马猜想，直到三百年后，也就是五年前才由英国的数学家证明出来，这个公式就此成了费马大定理。为什么将这个公式写出来呢？因为这个猜想与数论的形成息息相关，而数学王子高斯也说过，‘数学是自然科学之母，而数论是数学之根’，由此可见，数论的难度和在数学中的地位有多高了。而欧拉，是唯一一个在十八世纪对费马猜想有所突破的数学家，他证明了n=3的情况下，这个猜想是成立的。”

“欧拉是解析数论的奠基人，他提出了欧拉恒等式，也叫欧拉公式，建立了数论和分析之间的联系，从此就可以用微积分研究数论了。后来，高斯的学生黎曼，将欧拉恒等式推广到复数，就此提出了黎曼猜想。”

“欧拉恒等式是数学中最令人着迷的公式之一，它将数学中最重要的几个常数联系到了一起。包括e、π、i和1，还有数学中最常见的0。因此，数学家们评价它是上帝创造的公式，我们只能看而不能理解它。’”

“再回到一开始提出的问题，我们到底是怎么研究质数分布的？大家可能想到了，正是伟大的欧拉为我们找到了一个基本工具，也就是著名的欧拉乘积公式。”

1+12s+13s+…+1ns+…=[1（1-12s）]x[1（1-13s）]x[1（1-15s）]x…x[1（1-1ps）]x…

田立心顺手将这个公式写在黑板上，“为了节约篇幅，我们经常用大写的希腊字母Σ表示求和，用大写的希腊字母Π表示连乘。此外，我们初中时就学过指数为负的乘方是什么意思，a的-b次方等于a的b次方的倒数，即1除以a的b次方。因此，我们也可以将欧拉乘积公式简写成下面的式子。”

Σnn-s=Πp（1-p-s）-1。

田立心又将欧拉乘积公式的简写方式写出来，“这个公式是怎么推导出来的呢？我们来推导一下。”

a=Σnf（n）=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+…

b=Πp[1-f（p）]-1

f（n）=n-s

f（）f（n）=-sn-s=（n）-s=f（n）。

f（2）a=f（2）+f（4）+f（6）+f（8）…+f（2n）+…=Σnf（2n）。

a[1-f（2）]=f（1）+f（3）+f（5）+f（7）+…+f（2n-1）+…

a[1-f（2）][1-f（3）]=f（1）+f（5）+f（7）+f（11）+…

a[1-f（2）][1-f（3）][1-f（5）]=f（1）+f（7）+f（11）+f（13）+…

aΠp[1-f（p）]=f（1）=1

Σnn-s=Πp（1-p-s）-1

（ps：感谢书友幻鱼、山在海外、sgsnk、仙门剑诀、鬼在画符、木的自由源、不存在的理想人生等各位同学的推荐，感谢山在海外同学的打赏。

另外，为什么明明已经是更新了30天3000字，这传说中的成就却迟迟不见出现呢？作者表示一头黑人问号，莫不是被系统吞了？

最后的最后，继续求各位同学的收藏和推荐：））