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第10讲 掌握多条信息时的推理① 运用独立试验的概率乘法公式（第1页）

第10讲掌握多条信息时的推理①运用“独立试验的概率乘法公式”

10-1运用多项信息进行贝叶斯推理

在前面几讲中的案例，在运用贝叶斯推理时，都只是获取到了一项信息。例如，第1讲中，面前的顾客会不会上前询问；第2讲中，只有1种癌症检查；第3讲中，女性同事会不会送出巧克力；第4讲中，第一胎的性别，等等。每个案例中，最终获得的信息都只有一项。

但一般所指的“推理”需要多项信息作为辅助。因此，我们需要了解获得多项信息时的推理方法。而在已经获得多项信息的情况下进行推理时，贝叶斯推理有着十分重要的特性。接下来，会通过4讲内容（包括本讲）对于“获得多项信息时的推理”进行解释说明。

10-2将两个试验结合起来

我们面对的每个案例，都有多个可能的结果。而为每种可能性分配各自的概率的这个现象，被称为“试验”。此前我们只是将其称为“信息”，而接下来会使用“试验”这个用语。例如，投掷一枚骰子并观察投出的点数，这就是“试验”的一种。还有，明天的天气可能会出现“晴天”“多云”“雨天”“雪天”这4种情况，而确认究竟是哪一种情况，也是一种“试验”。

当两种试验并存时，将它们结合起来，并将其看作另一项试验。接下来我们要做的是，思考可能发生的各种情况的概率。

为了方便理解，我们下面举一个人为的例子来进行说明。

第一个试验，抛一枚均匀的硬币，并总结抛出正面和反面的概率。第二个试验，掷一枚均匀的骰子，并总结掷出点数的概率。然后，把这两个试验的结果结合起来，组成第三个试验。例如，第一个试验的结果是“正面”，第二个试验的结果是点数“4”，把这两个结果组合起来，就得到了第三个试验的结果“正面＆4点”。这样的试验称为“直积试验”，结果如图表10-1所示，共有2×6＝12种情况。

图表10-1将两个试验结合起来

如图所示，直积试验的结果用格子的形状来表示。“格子形状”的含义是：横向按照1～6的顺序排列，纵向按照正面反面的顺序排列。像这样，将直积试验的结果用格子形状表示，有着重要的意义——使概率的计算变得简单。顺便说一下，“直积”是一个数学用语。它的含义是：用格子形状进行排列，并编成组。

10-3用乘法运算得出独立的直积试验的概率

下面，我们针对这两个试验的独立性进行说明。

“两个试验的独立性”的含义，简单地说，就是指“两个试验的结果不会互相影响”。例如，上一节中提到的“抛硬币”的试验和“掷骰子”的试验中，硬币抛出正面的结果，不会影响掷骰子的点数；而掷骰子出现4点的结果，也不会影响硬币抛出正面还是反面。也就是说，我们可以直观感受到：“硬币的正反”和“骰子的点数”这两个结果是互相不影响的，这就是所谓的“试验的独立性”。

那么，“互相不独立的两个试验”又是什么样的呢？举一个容易理解的例子来说，“东京都明天的天气”与“神奈川县明天的天气”，不能认为这二者是“毫无关联”的吧。因为神奈川县紧邻东京都，若推测“东京都明天的天气”是“雨天”的话，那么“神奈川县明天的天气”也是“雨天”的可能性就会很高。同样，若推测“神奈川县明天的天气”为“雪天”的话，那么“东京都明天的天气”是“雪天”的可能性也会比平时要大。这样的试验在专业上被称为“从属试验”。

但是，把“试验的独立性”定义为“互不影响”或“没有关系”等方式，并不能算得上十分高明。这是因为，“一项试验对于另一项试验是否产生影响”的问题，很难用数学计算进行描述。在这里，我们将独立性定义为：“一方对另一方不产生影响”以及“直觉上认为它们有着相同意义的数学计算”，具体说明如下：

在这里，我们再一次通过之前抛硬币和掷骰子的试验进行说明。

投掷骰子的结果，出现1点或其他点数的概率均为16。之后，我们再来关注一下“将抛硬币和掷骰子这两个试验编为一组的直积试验”。在直积试验中，假设单独把“正面”的结果抽取出来，那么掷骰子出现各个点数的概率是多少呢？如果设定“掷出1点相对容易（概率大于16）”，那么，抛硬币的结果为“正面”，就会对骰子的点数产生影响。

因此，如果“正面”这一结果对于骰子的点数不会产生影响，那么，即使仅仅抽出“正面”的情况，骰子出现各个点数的概率也还是相等的。如果用格子形状的图表10-2来解释的话，即，上面一行表示结果为“正面”的6个长方形的面积（表示概率）都是相等的。同样地，下面一行表示结果为“反面”的6个长方形的面积也是相等的。

图表10-2独立试验的面积

在这个阶段，我们还无法知晓上下两个长方形的面积是否相等。而当我们把掷骰子出现6点的情况抽取出来，并考虑到这个结果并不会对硬币抛出正面或是反面的概率产生影响，就能判断出，右侧上下的两个长方形的面积是相等的。于是，从上述的内容我们可以得知：排列成格子形状的12个长方形的面积都是相等的。

那么，用来表示各个试验（把抛硬币和掷骰子两个实验合为一组的试验）结果概率的长方形面积是多少呢？考虑到标准化条件（相加之和为1），就可以知道：每个长方形的面积都是112。而长方形的个数之所以是12个，原因在于抛硬币的结果共有2种情况，而掷骰子的结果共有6种情况。接下来我们可以进行以下变形：

长方形的面积

＝抛硬币的结果之一的概率×掷骰子的结果之一的概率

根据上面的计算公式，各组试验的具体情况可以表示为：

“正面＆1点”的概率＝出现“正面”的概率×出现“1点”的概率

或者“反面＆5点”的概率＝出现“反面”的概率×出现“5点”的概率，等等。

换言之，各组的概率，即为各项概率的乘积。

10-4独立试验概率的乘法公式

本节对上述内容再作一次一般性的描述。