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第15讲 在获得信息之后概率的表示方法 条件概率的基本性质（第2页）

P（黑球|A）＝0.1

此时，请回想一下第7讲中计算出的“A＆黑球”的概率，为0.5×0.1。如果使用上一节中提到的条件概率来定义该计算，就能够理解一下这种整合性的计算方法。

图表15-3A＆黑球，是事件“A”和事件“黑球”的重叠部分

先来看一下图表15-3，在直积试验中，事件A可表示为：

A＝{A＆黑球，A＆白球}

即，“该壶为A壶，球为任意颜色”的事件。同理，事件“黑球”可表示为：

“黑球”＝{A＆黑球，B＆黑球}

也就是说，

事件A和事件“黑球”的重叠＝{A＆黑球}

像这样，在直积试验中，事件的重叠自然与“＆”是相同的。

那么，根据上一节中关于条件概率的定义，可以写为：

p（黑|A）＝p（事件A和事件“黑球”的重叠）÷p（A）

＝p（A＆黑球）÷p（A）

用乘法算式来表达，则为：

p（A＆黑球）＝p（A）×p（黑|A）…（1）

这里，类别A的概率为0.5。此外，从A中观察到为黑球的条件概率p（黑|A）被设定为0.1，所以，

p（A＆黑球）＝0.5×0.1＝0.05…（2）

这样，便可以用乘法计算出A＆黑球的概率。以上表示的是“概率即为长方形的面积”以及“整合性”的问题。对上述进行抽象描述，即关于贝叶斯推理的公式：

＆事件的概率法则

p（类别＆信息）＝p（类别）×p（信息|类别）

换言之，用＆来连接的类别和信息所构成的可能性的概率为：将“类别的先验概率”和“在【这个类别】的基础上，能够得到这条信息的条件概率”相乘的结果。

15-4通过条件概率的公式理解后验概率

接下来，终于到了解说绍贝叶斯推理条件概率的使用方法第二阶段的环节。

用壶的例子来解释的话，贝叶斯推理就是通过“取出的球为黑球”这一信息，来推测“该壶为B壶”的概率。由于“取出的球为黑球”是观察的“结果”，而“该壶为B壶”是“原因”，从“结果”来推测“原因”，听起来是一个奇妙的过程。而这个过程之所能够实现，关键就在于条件概率的定义。

我们要计算的是：在获得到“取出的球为黑球”这一信息之后，“该壶为B壶”的概率。由于已经明确定义了条件概率，因此可以完全确定下来，即条件概率为：

p（B|黑）

而该条件概率的计算方法，在15-2中已经给出，即：

p（B|黑）＝p（B＆黑球）÷p（黑球）…（3）

的计算，可以求出。因此，只要知道概率p（B＆黑球）和概率p（黑球）的数值，然后用除法运算，就可以求出了。

前面的p（B＆黑球），运用刚刚在（1）（2）式子中求出p（A＆黑球）同样的计算方法，就可以求出。即为，

p（B＆黑球）＝p（B）×p（黑|B）…（4）

这里，需要注意的是：条件概率p（）中的内容被随意地左右替换。在（3）中是p（B|黑），而在（4）中则是p（黑|B）。前者为需要计算的数值，而后者可以通从模型的设定得出结果为0.8。而事件“该壶为B壶”与事件“取出的球为黑球”可以进行更换，正是贝叶斯推理的秘密所在。那么，从（4）中可以计算出

p（B＆黑球）＝0.5×0.8＝0.4…（5）

而关于概率p（黑球）的计算，由于“取出的球为黑球”这一事件是能够通过

“黑球”＝{A＆黑球，B＆黑球}

以及使用了符号＆的各个基本事件表示出来，因此，可以运用以下方法计算求出：

p（黑球）＝p（A＆黑球）＋p（B＆黑球）

右边的第一项是通过（1）求得，而第二项是通过（4）求得的。将结果代入上述式子中，可以得出：

p（黑球）＝p（A）×p（黑|A）＋p（B壶）×p（黑|B）…（6）

因此，把（4）和（6）代入（3）中，可以得出下面的计算公式：