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第16讲 概率分布图帮助我们进行更加通用的推理（第1页）

第16讲“概率分布图”帮助我们进行更加通用的推理

16-1到达到实用水平，需要“概率分布图”和“期待值”

截至上一讲，我们已经完成了对于贝叶斯推理的基本技巧、以及运用常见的概率记号对其进行描述的知识点进行了解说。至此，进行简单设定的推理已经完全不成问题。但如果要对于稍微复杂的设定进行推理、或是进行通用性推理的话，之前所介绍的方法就略显不足了。

对于稍微复杂的设定进行推理、以及进行通用性推理时，需要了解“概率分布图”和“期待值”相关的知识，尤其是在连续性概率分布这种基本事件无限多的情况下，以上背景知识更是不可缺少的。我们从本讲开始学习这个知识点。而在后面几讲中，将会对贝叶斯推理中最有代表性、重要的“贝塔分布”和“正态分布”进行解说。在本讲中，首先为大家解说贝塔分布的出发点——“均匀分布”的相关内容。

16-2思考“同样的可能”型的概率模型

想象一下抛硬币和掷骰子试验的常规概率模型，就很容易理解“均匀分布”的概念了。

正如第14讲中解说的那样，概率模型是根据基本事件和对其概率的分配来进行定义的。以抛硬币为例，其基本事件的集合表示为：

{正面，反面}

为每个基本事件分配相同的概率，即：

这些基本事件被称为“大致相同”。也就是说，可以把“正面”和“反面”设定为基本相同的情况。

而在掷骰子的情况，也正如第14讲中所解说的那样，基本事件的集合可以表示为：

{1，2，3，4，5，6}

而分配概率的方法，则是把点数K出现的概率记为p（{k}），那么：

此时，6个基本事件也是“大致相同”的。

用面积图来描述抛硬币和掷骰子的概率模型，如图表16-1所示，由于可能性“大致相同”，所以长方形被分为面积相等的几份。

图表16-1关于硬币和骰子的“大致相同”

接下来我们来设想一个新的模型——赌盘，也就是在赌场里使用的工具的概率模型。它的基本事件为整数1～36，表示为：

{1，2，3，…，35，36}

实际上，在赌场里真正使用的赌盘，每个分区用“0”或“00”等数字来标记。在这里，我们为了简单起见，把赌盘的圆周分为36等分，并用整数1～36分配给每一等份来命名。若把赌盘的概率模型也设定为“大致相同”的情况，那么理所当然地，每个点数出现的概率都是相同的，因而可以表示为：

用图来表示，如图表16-2所示。

图表16-2赌盘上的“大致相同”

在该模型中，可以把“抽取一个满足条件1≤x≤k的整数x”的概率记为p（1≤x≤k）。由于1≤x≤k占了整体中的36分之k的比例，所以可以得出：

16-3把“大致相同”模型转换为成连续化的“均匀分布”

赌盘的概率模型，是把整数1～36出现的概率设定为“大致相同”。而若是把这个模型扩展为（连续的）无限个基本事件，就形成了“均匀分布”的概率模型。

下面我们来想象一下这个虚构出来的赌盘：在圆周上绘制0≤x≤1范围内所有的x。之后，截取截线段中0～1之间的部分，并把它想象成车轮形状的圆形，这就是基本的“均匀分布”的概率模型。本书中，将该模型称为［0，1］-赌盘模型（该名称仅在本书成立）。

在该概率模型中，“在0≤x≤1范围的数值中，随机抽取一个x”，正对应了抛硬币随机出现“正面”或“反面”，以及掷骰子随机出现点数1～6的结果。

但该模型与之前的模型相比有着很大的差异，体现在概率的分配方式上。

如果模仿之前的抛硬币和掷骰子的例子，将0.4或0.73等x的数值作为事件，并将{0.4}或{0.73}等作为基本事件，那么，应该为其分配“大致相同”的概率。然而，对于［0，1］-赌盘模型来说，这种方法并不合适，而这又是为什么呢？

这里需要用到标准化条件的概念。在概率模型中，所有事件的概率之和为1。假设对于每一个x，都为事件{x}分配相同的概率a，由于在0≤x≤1的范围中有无数个x，那么，则必须满足以下公式：

（对于满足条件0≤x≤1的所有x，{x}的概率之和）

＝（无限个a的和）＝1

并且，如果不满足a＝0，就会出现矛盾。但如果a＝0的话，就会产生两个困难。

第一个困难：“无限个0相加等于1”的含义是什么？

第二个困难：对满足条件0≤x≤1的每个x，假设它的概率为p（{x}）＝0。那么，应该怎样计算满足条件0≤x≤0.5时，抽取出x的概率呢？

上述两个困难的难度系数都不小，那么，为了避开它们，我们需要调整之前设定概率的方式为以下方式：

在［0，1］-赌盘模型中的概率的设定

在［0，1］-赌盘模型中，t的取值范围为0＜t≤1，把［大于0且小于等于1的数值］的集合设为基本的事件。也就是说，将E＝{满足条件0≤x＜t的x}设为基本事件。之后，为事件E分配概率为p（E）＝t。最后，把事件E简略地记为（0≤x＜t），其概率p（E）简略地记为p（0≤x＜t）。