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第18讲 决定概率分布性质的期待值（第2页）

以m为支点，那么x处的旋转力（专业上称为力矩）为：

（纵轴的高度）×（x-m）

正向的旋转力为顺时针方向，负向的旋转力为逆时针方向。例如，在点1处，逆时针方向的旋转力为0.3×（1-m）。

图表18-3挑担偶人上的旋转力

“挑担偶人保持平衡稳定的状态”，是指旋转力的和为0（正反两个方向都不受力）。因此，使以下等式成立的m，就是“平衡的支点”。

0.3×（1-m）＋0.4×（2-m）＋0.2×（3-m）＋0.1×（4-m）＝0

该式可转化为，

1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝（0.3＋0.4＋0.2＋0.1）m

在进行计算时，根据标准化条件得知，等号右边的括号中各项之和为1，而毫无疑问，等号左边为期待值，即：

（x的期待值）＝m

也就是说，如果将期待值的数值作为支点m，就可以使两侧的旋转力之和为0，实现平衡。这一原理在所有的概率分布中都成立。

18-5计算掷骰子和生女孩案例中的期待值

我们已经了解了期待值的概念和含义，下面来试着计算以下两个例子中的期待值，并用图来表示。

第一个例子，掷骰子的期待值。基本事件为：

{1，2，3，4，5，6}

概率为：

依据期待值的定义进行计算：

如果沿着“使挑担偶人保持平衡”的思路来思考，甚至不需要进行计算。如图表18-4所示，由于掷骰子的概率分布图是左右对称的，那么在挑担偶人模型中，平衡的支点必须为正中。因此，期待值为3.5。

图表18-4掷骰子的期待值

下面，我们来回顾一下第4讲中关于“某对夫妇第二胎生女孩的概率”这一案例，来计算该例中的概率分布期待值。

在这个例子中，设定x＝0.4、0.5、0.6时的概率分布为0.27、0.33、0.4。

由此可计算出期待值为：

（x的期待值）＝0.4×0.27＋0.5×0.33＋0.6×0.4＝0.513（见图表4-8）。

我们再思考一下关于该模型的问题：已经该夫妇的第一胎为女儿，那么，设定问题为“该夫妇生的第二胎依然是女孩的概率是0.4？0.5？还是0.6？”之后根据贝叶斯推理，计算出对于0.4、0.5、0.6的后验概率分别为0.27、0.33、0.4。这意味着，“第二胎依然是女孩”的概率为0.4的可能性是0.27，概率为0.5的可能性是0.33，为0.6的可能性是0.4。而这些数值作为“概率的概率”这样一种双重概率，也就是“关于概率的概率分布”。

图表18-5某夫妇生的第二胎依然是女孩的概率的期待值

虽然我们已经知道了0.4、0.5、0.6这三种概率分别对应的可能性数值，但其实我们真正想要的是“该夫妇生的第二胎依然是女孩的概率究竟是多少”的答案。而对此进行估算时，期待值可以作为一个合适的指标。因为期待值是代表概率分布的数值。因此，根据图表18-5可以进行如下推算：

（第一胎生女孩的夫妇，第二胎依然是女孩的概率）＝0.513

在没有获得任何信息时，认为概率是0.5的想法是妥当的；而在已知第一胎是女孩的情况下，通过贝叶斯推理可以估算出：第二胎依然是女孩的概率要略大于0.5。

18-6通过贝塔分布来计算期待值

学习完上述知识后，下面我们来思考连续型概率分布的期待值。在连续型概率分布中，由于已经给出了连续无限个数值的概率密度，所以很难通过各个数值来掌握其存在方式，而只有通过图表的形状来把握才比较现实。在这个前提下，能够通过一个数值来代表分布的期待值的作用就更为重要了。

下面以贝塔分布为例，来讲解连续型概率分布期待值的知识点。即便如此，在连续型的情况下，如果要定义并计算其期待值，依然需要进行积分计算，因此本书仅对其结果进行介绍。

第17讲中讲解过，贝塔分布中，将α、β设为大于1的常数，如下所示：

y＝（常数）×xa-1（1-x）β-1（0≤x≤1）

x为基本事件的数值，y为概率密度。贝塔分布的期待值的公式如下：

具体解说可参照“补讲”部分。

下面，针对第17讲中列举出的贝塔分布，使用该公式计算其期待值，并试着用图表示出来。

首先，α＝β＝1时，贝塔分布的常数函数为：

y＝1（0≤x≤1）