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0 3空间曲面与曲线（第1页）

0.3空间曲面与曲线

考试要点剖析

一、了解曲面方程与空间曲线方程的概念；了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；会求空间曲线在坐标平面上的投影线的方程.

1.　曲面

如果曲面Σ与方程F（x，y，z）=0满足：

①　Σ上的点坐标满足方程F（x，y，z）=0

②　不在Σ上的点坐标不满足方程F（x，y，z）=0

则称方程F（x，y，z）=0为曲面Σ的方程，称曲面Σ为方程F（x，y，z）=0的曲面.F（x，y，z）=0

例如：球心在（x0，y0，z0）、半径R是的球面方程为：

（x－x0）2+（y－y0）2+（z－z0）2=R2

特别地：球心在原点的单位球面的方程为x2+y2+z2=1

（1）　柱面方程

【定义】空间中动直线L沿定曲线Γ平行移动所形成的曲面Σ称为柱面；定曲线Γ称为柱面∑的准线，动直线L称为柱面Σ的母线.

【结论】1）　f（x，y）=0表示以xOy面上曲线f（x，y）=0

z=0为准线，母线平行于z轴的柱面；

2）　g（y，z）=0表示以yOz面上曲线g（y，z）=0

x=0为准线，母线平行于x轴的柱面；

3）　h（x，z）=0表示以xOz面上曲线h（x，z）=0

y=0为准线，母线平行于y轴的柱面．

例如：不含z的方程x2+y2=R2在空间坐标系中表示圆柱面，它的母线平行于z轴，准线为xOy面上的圆x2+y2=R2；

方程y2=2x在空间坐标系中表示抛物柱面，它的母线平行于z轴，准线为xOy面上的抛物线y2=2x；

方程x－z=0在空间坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，准线为xOz面上的直　z=x；

【方法运用点拨】方程中缺哪个变量，方程就代表母线平行于那个轴的柱面.

（2）　旋转曲面

定义平面曲线绕该平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面.

方程设有xOy面上的曲线L：f（x，y）=0

z=0，则

1）　曲线L绕x轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为f（x，±y２＋z２）＝０；