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第19讲 在贝塔分布中使用概率分布图进行高级推理（第1页）

第19讲在“贝塔分布”中使用概率分布图进行高级推理

19-1对“生女孩”的案例进行更准确的推理

在上一讲的基础之上，下面，我们开始解说使用了贝塔分布的贝叶斯推理过程。

这一次，我们依然使用第4讲中的例子——“若某对夫妇生的第一胎为女孩，那么第二胎依然为女孩的概率是多少”这个问题。第4讲中的推理，是在相当不充分的设定之下进行的。这是由于，在设定这对夫妇“生女孩的概率”的类别时，只考虑了0.4、0.5、0.6这3种情况，但并没有给出为何只设定这3种情况的相关证据。而实际上，大于0且小于1的所有数值都可以设为“生女孩的概率”。在学习第4讲时，我们只能做到为有限个数的类别设定先验概率；而现在，我们已经学会了处理连续型的概率分布，那么，也就可以在自然状态的设定下，进行贝叶斯推理。本讲中将会使用贝塔分布，来完成上述推理过程。

19-2设定先验分布为均匀分布，并进行推理

把某对夫妇生女孩的概率设为x。x表示这对夫妇的“类别”。由于类别是未知的，所以将其作为推理的对象。

虽然我们知道，类别x一定是一个大于0且小于1的数值，但并不知道具体的数值。因此，需要设定每一类别分别对应何种程度的先验概率。当x分为3种情况时，设定各x的数值为事前“概率”是完全没问题的。但在本次推理中，x可以有连续无限个数值，因此设定的数值为“概率密度”（第16讲中对于“概率密度”这一概念已经进行了解说）。把各个类别的可能性的设定为概率密度时，称为“先验分布”。

在这里，暂且把表示x的先验分布的概率分布，假设为均匀分布。

这意味着，不管该夫妇所属的类别x为何种可能性，都假定其相等（大致相同）。也许有的读者会不理解这样进行假设的原因，认为“x在接近0或接近1的情况下，与接近0.5的情况下，结果是相等的”这样的设定不合逻辑。这是一个合理的疑问。在下一节中，将会以能够解答这个疑问的先验分布为例，来进行解说。而作为学习的出发点，首先我们来一起思考均匀分布的先验分布。

关于类别x（x为某对夫妇生女孩的概率）的先验分布，设定如下：

y＝1（0≤x≤1）

在图表19-1中，先验分布即为x轴上方的部分。

图表19-1类别为均匀分布的情况

接下来，x轴的下方的长方形，可以对应第4讲的图表4-3的长方形分割图，也就是划分出互不相同的几种可能性。在图表4-3中，划分了6个长方形，但在图表19-1中，划分为无数条线段（AB或BC即为其中的1条）。

从有限变成无限的情形，如图表19-2所示。

图表19-2从有限到无限

那么，接下来可以这样分析图表19-1：例如，图中的x＝0.7（点A）表示该夫妇的类别为0.7，换言之，表示“这对夫妇生女孩的概率”为0.7这样一种可能性。因此，这对夫妇生的第一胎为女孩（这样一种可能性）的概率密度为0.7，用线段AB来表示。那么，生男孩的概率密度自然为0.3，用线段BC的长度来表示。实际上，这里采用了“＆的事件的概率法则”（见15-3）。换言之，表示为：

（AB的长度）＝（类别是x＝0.7的概率密度）×（类别在x＝0.7的基础上，生女孩的概率）

＝（x＝0.7时的y）×p（女孩|x＝0.7）

＝1×0.7

＝0.7

在19-3之后，这个问题将成为基本的知识点。

假设我们获得了“这对夫妇生的第一胎为女孩”这样一条信息吧。那么，就可以把图表19-1中涂有颜色中的浅色部分的线段（生男孩的可能性）排除在外，只留下涂有颜色中的深色部分的线段（生女孩的可能性），如图表19-3所示。

图表19-3排除生男孩的可能性

排除掉生男孩后的可能性之后，便不符合标准化条件（所有事件的概率之和为1）了。由于表示生女孩这种可能性（涂有颜色的深色部分的三角形）的面积为0.5，那么，为了把它的面积变为1，需要在保持各线段的比例关系的同时，变更概率密度。只要把每条线段延长到之前的2倍，就能满足标准化条件了（三角形的高度变为之前的2倍）。图表19-3的右侧部分，表示这一步骤完成之后的状态——把左侧的x轴下方的部分翻转过来，再纵向延伸到之前长度的2倍。需要注意的是，右侧部分的图像即为贝塔分布的α＝2、β＝1的情况（见17-4）。这个是在获得了“该夫妇生的第一胎是女孩”这条信息时，关于这对夫妇的类别x的后验分布。同时还需注意的是，它表示的不是后验概率，而是后验分布。这是因为，分布图表示的是概率密度。后验分布如图表19-4所示。

图表19-4先验分布和后验分布

看图可知，虽然关于该夫妇生第一胎之前的类别x的先验分布，为均匀分布（无论哪种类别x，结果都是相同的）。但在获得了“第一胎为女孩”的信息之后，关于类别x的后验分布，就变更为z＝2x这样的贝塔分布了。这意味着，类别x的后验概率密度，是随着x的增大而增大的。

19-3第二胎依然为女孩时的推理

为了帮助大家了解采用贝塔分布的优势，下面我们针对该夫妇生的第二胎依然女孩的情况，进行贝叶斯推理。