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第19讲 在贝塔分布中使用概率分布图进行高级推理（第2页）

由于关于类别的先验分布为均匀分布，那么，可以通过两胎连续生女孩的情况设定，来计算结果。而根据第12讲中解说的“贝叶斯推理的序贯理性”这一性质（见12-4），把上一节中求出的后验分布（z＝2x）再次设定为先验分布，并在此基础上，根据“这对夫妇再次生了女孩”的信息，可以得出后验分布是相等的结论。那么，下面我们就用这个方法进行贝叶斯推理吧。

图表19-5先验分布和后验分布

首先看图表19-5的左侧部分：x轴上方的部分表示先验分布，如设定一样，贝塔分布为y＝2x。下方则表示，在获得“该夫妇生了女孩”的信息之后，各种可能性的划分。先说明结论：下图中涂有颜色部分的界限曲线为抛物线

z＝2x2…（1）

该抛物线上方涂有颜色的部分，表示该夫妇在类别x的情况下生女孩的概率密度。此外，该夫妇在类别x的情况下，生男孩的概率密度为直线OF和抛物线（1）围成的部分。

第15讲中已经进行了解说：该夫妇在类别x的情况下，生女孩的概率密度为（1）式，是依据“＆的事件的概率法则”。由于该夫妇在类别x的情况下，生女孩的概率密度为x，那么在条件概率p（信息|类别）中，若类别＝“x”、信息＝“女孩”，那么这个概率模型可以设定为：

p＝（女孩|x）＝x

因此，

p（（该夫妇为类别x）＆（类别x的夫妇生了女孩））

＝p（类别x）×p（女孩|x）

＝2x×x

＝2x2

下面，通过图表19-5的右侧部分，来对于“为何概率密度和概率，都能够用乘法运算求出＆的概率密度呢？”的问题进行说明（如果觉得这样的解说很烦琐，可以直接跳过以下内容）。以类别x＝0.7为例：该夫妇的类别0.7这一可能性，近似于x轴上方的小长方形。若把宽度设为d，那么关于以0.7为中心的宽度d的范围的类别x，可以将其概率密度全部视为1.4。那么，该夫妇属于这个长方形（属于这种可能性）的概率为：d×1.4。这里，运用了将概率密度乘以宽度转换为概率的方法。由于属于该情况的夫妇，生女孩的概率为0.7，那么（该夫妇属于类别0.7）＆（类别0.7的夫妇生女孩）这种可能性，便可以认为近似于x轴下方以线段AD为长的长方形。

在这个长方形中，点D处于划分0.7和0.3的比率的位置，因此，这个面积为（d×1.4）×0.7。由此可以计算出AD的长度（除去宽度d）1.4×0.7＝0.98。

之后，根据获得的“第二胎依然为女孩”的信息，可以排除掉图表19-5左侧部分的OF和抛物线（1）围成的部分，只留下抛物线（1）和x轴围成的部分（涂有颜色的部分）。由于这个面积不等于1，因此需要像之前一样，使用标准化条件，使其面积变为1。

这里需要注意的是，二次函数y＝（常数）x2为α＝3、β＝1时的贝塔分布。因此，满足标准化条件的后验分布为：（对于推理来说，“系数为3”并不重要，故此处省略原因）。

y＝3x2（0≤x≤1）

那么，根据上一讲中的公式，可以求出α＝3、β＝1的贝塔分布的期待值为：

图表19-6第二胎依然为女孩时的后验分布

19-4设定先验分布非均匀分布，并进行推理

如19-2中解说的那样，多数人认为，把“某对夫妇生女儿的概率”的先验分布设定为均匀分布，并不十分恰当。这是由于，一般来说很难认为当类别接近0或1时，与接近0.5时的情况是相同的；而最初的设定——接近0.5的类别容易发生，远离0.5的类别难以发生这样的思路则更为普遍。最后，以这种情况为例来进行解说。

此时，可以将先验分布设定为α＝2、β＝2的贝塔分布。正如第17讲中的解说，该分布为：（图表19-7）

y＝6x（1-x）（0≤x≤1）

图表19-7非均匀贝塔分布的先验分布

在上述先验分布的情况下，离类别0.5越远，其概率密度越小。此时，“类别x的夫妇生女孩”的概率为：

p（（类别x）＆（女孩））

＝p（类别x）×p（女孩|x）

＝6x（1-x）×x

＝6x2（1-x）

因此，实行标准化条件之后，从作为后验分布的贝塔分布中可以求出：（此处省略说明系数为12的理由）